Háromszögek területe

1. Derékszögű háromszög:

A derékszögű háromszög területe egyenlő a két befogó szorzata per kettő.

`T = (a*b)/2`

2. Szabályos háromszög:

A szabályos háromszög területe egyenlő az alap négyzetének a gyökhárom-per-négy (0,433) szeresével.

`T = (a^2*sqrt(3))/4 = a^2*0,433`

3. Egyenlő szárú háromszög:

Az egyenlőszárú háromszög területe egyenlő az alapnak és a hozzá tartozó magasságnak a szorzata per kettő.

`T = (a*m_a)/2`
ahol érvényes a Pitagorasz-tétel.
`(a/2)^2 + m^2 = b^2`

4. Általános háromszög:

A. A háromszög területe egyenlő bármely oldalnak és a hozzá tartozó magasságnak a szorzata per kettő.

`T = (a*m_a)/2`
`T = (b*m_b)/2`
`T = (c*m_c)/2`

Trigonometrikus területképlet:
A háromszög területe egyenlő bármely két oldal szorzata szorozva a közbezárt szög szinuszával per kettő.

`T = (a*b*si n gamma)/2`
`T = (a*c*si n beta)/2`
`T = (b*c*si n alpha)/2`

Ezt akár a szinusztétel bizonyításához is fel lehetne használni.

Heron képlet:
A háromszög kerülete és területe között összefüggés van.

`K = a + b + c`
`s = K/2`
`T = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))`

Mintafeladatok:

1. Derékszögű háromszög:

a = 6
c = 9
b = ?
T = ?
`b = sqrt(9^2 - 6^2) = sqrt(81-36) = sqrt(45)=6,7`
`T=(6*6,7)/2=20,1`

2. Szabályos háromszög:

a = 7
T = ?
`T = 7^2*0,433 = 49*4,33 = 212,17`

3. Egyenlő szárú háromszög:

a = 12
b = 20
m = ?
T = ?
`m = sqrt(20^2 -(12/2)^2) = sqrt(400 -36)= sqrt(364) = 19,08`
`T = (12*19,08)/2 = 114,48`

4. Általános háromszög:

a = 4
b = 7
γ = 40°
T = ?
c = ?
α = ?
β =?

`T=(4*7*sin40°)/2 = 14*0,6428 = 9`
`c = sqrt(4^2+7^2-2*4*7*cos40°)=sqrt(16+49-56*0,766)=sqrt(65-42,9)=sqrt(22,1)=4,7`
`9=(7*4,7*si n alpha)/2`
`si n alpha = 0,5471`
`alpha = 33,2°`
`9=(4*4,7*si n beta)/2`
`si n beta = 0,9574`
`beta = 73,2°`
`alpha + beta + gamma = 33,2°+ 73,2°+ 40°= 146,4°
beta korrekciója= 180°-73,2°= 106,8°
`alpha + beta + gamma = 33,2°+ 106,8°+ 40°= 180°`

5. Általános háromszög:

a = 3
b = 6
c = 7
T = ?
α = ?
β = ?
γ = ?

K = 3 + 6 + 7 = 16
s = 16/2 = 8
`T=sqrt(8*5*2*1) = sqrt(80)=8,9443`

`8,9443 = (3*6*si n gamma)/2`
`si n gamma = 0,9938`
`gamma = 83,6°`

`8,9443 = (3*7*si n beta)/2`
`si n beta = 0,8518`
`beta = 58,4°`

`8,9443 = (6*7*si n alpha)/2`
`si n alpha = 0,4259`
`alpha = 25,2°`

`alpha + beta + gamma = 83,6° + 58,4°+ 25,2° = 167,2°` korrekció:
`gamma = 180°- 83,6°= 96,4°`
`alpha + beta + gamma = 96,4° + 58,4°+ 25,2° = 180°`

1. Halmazok

1. Hogyan adunk meg halmazokat?

Halmazokat többféleképpen is megadhatunk.
Halmazok megadása legegyszerűbben az elemek felsorolásával történik.
(vagy a közös tulajdoság megfogalmazásával = pl. egyjegyű páros számok)
A = {1;2;3;4}
Látható, hogy:

• Halmazokat az ábécé nagy betűivel jelöljük.
• Elemeket kapcsos zárójelek közé zárjuk és pontosvesszővel választjuk el egymástól.
• Minden elem csak egyszer szerepelhet és a sorrend nem számít (de a sorbarendezett alak azért mégis csak esztétikusabb).
• Ha a halmaz elemeit fel tudjuk sorolni, akkor a halmaz véges. Elemeinek száma: |A| = 4.

Mit tudunk az A halmazról?
Többek között azt, hogy:

• Az 1 eleme A-nak.(1∈A, vagy A∋1)
• Az 5 nem eleme A-nak.(5∉A, vagy A∌5)

Halmazábra = karika = Venn-diagram.

2. Van-e olyan halmaz, aminek egyetlen eleme sincs?

Az olyan halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük.
Jele: ∅, vagy {}.

3. Milyen viszonyban lehet két halmaz?

Két halmaz egymáshoz képest, lehet:

• egyenlő pl. A = {0;1;2;3} B = {Bármely egész szám néggyel való osztási maradékai}
• rész-egész (tartalmazási) viszonylatú = karikában a karika
• közös elem nélküli (diszjunkt) = különálló két karika
• közös elemekkel rendelkező = egymást metsző két karika

4. Hány részhalmaza van egy n elemű halmaznak?

Tétel:
 Egy n elemű halmaznak 2ⁿ darab részhalmaza van.

Pl. Legyen A = {1;2;3} és B = {1;2;3;4;5;6}.
(Látható, hogy A kevesebb elemet tartalmaz, mint B és A minden egyes eleme B-ben is benne van.)
Ilyen esetben azt mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek (B tartalmazza A-t)
Jelölése: A⊂B (vagy B⊃A).

Tétel:
 Minden halmaznak az üres halmaz részhalmaza (triviális részhalmaz).

Soroljuk fel (szisztematikusan) A összes részhalmazát (faktorhalmazát)!

• 0 elemű részhalmaz: ∅
• 1 elemű részhalmaz: {1},{2},{3}
• 2 elemű részhalmaz: {1;2},{1;3},{2;3}
• 3 elemű részhalmaz: {1;2;3}

A lehető legbővebb halmazt alaphalmaznak nevezzük.
Az alaphalmaz halmazábrája nem karika, hanem az összes karikát tartalmazó, jó nagy téglalap.
Egy halmaz (alaphalmazra vonatkozó) kiegészítő (komplementer) halmaza olyan elemekből áll, amelyek nem tartoznak bele az adott halmazba. (Külső elemek).
Legyen az alaphalmaz a B halmaz, akkor A = {4;5;6}.
(Lyukas téglalap alakú halmazábra)

5. Két halmaz között hányféle művelet értelmezhető?

Két halmaz közötti műveletek közül három művelet alapvető jelentőségű.

• Unió = egyesítés = az összes elemet tartalmazza.(Babapiskóta alakú halmazábra)
• Metszet = közös rész = a közös elemeket tartalmazza.(Lencse alakú halmazábra)
• Különbség = fennmaradó rész = csak az egyik halmaz elemeit tartalmazza.(Félhold alakú halmazábra)

Pl.A = {1;2;3}
B = {3;4;5}
1. Metszet = A ⋂ B = {3} (középkezdés)
2. Különbség: (kivonás)
 A \ B = {1;2}
 B \ A = {3;4}
3. Unió = A ⋃ B = {1;2;3;4;5} (egyesítés)

6. Milyen számhalmazokat ismerünk?

Rendeljünk a különböző matematikai műveletekhez halmazokat!
Az összeadás(+)-szorzás(*) és a kivonás(-) játszótere:

• Egész számok halmaza = Z
• Pozitív egész számok halmaza = Z⁺
• Negatív egész számok halmaza = Z^-
• Természetes számok halmaza = N = pozitív egész számok és a nulla

Az osztás (/) játszótere:

• Racionális számok halmaza = Q = hagyományos törtek

A gyökvonás (√) játszótere:

• (Algebrai számok = a másodfokú egyenletek gyökös gyökei = pl. 3+2√5)
• (Komplex számok = a másodfokú egyenlet negatív gyökös gyökei = pl. √(-1)

A mértékegységrendszer alapszámával való osztás játszótere:

• Irracionális számok = köztes helyek = √2; √3; π
• Valós számok halmaza = R = a számegyenes pontjai = tizedes törtek

A számhalmazok közötti kapcsolat: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
(Egymásba rajzolt karikák)

7. Mik az intervallumok és milyen műveleteket tudunk végezni velük?

A intervallumok a számegyenes részei.
Lehetnek

• végesek és
• végtelenek a hosszaik.

Lehetnek

• nyíltak és
• zártak a végpontjaik.

pl. A = [1;4] = {x∈R|1≤x≤4}
Kiolvasása = az intervallumhoz olyan valós számok tartoznak, amelyekre teljesül, hogy 1-nél nem kisebbek és 4-nél nem nagyobbak.
zárt intervallum = befele (; irányába) néző szögletes zárójelek = tömör karika határolópontként a számegyenesen.
pl. B = ]1;4[ = {x∈R|1<x<4}
nyílt/nyitott intervallum = kifele néző szögletes zárójelek = üres karika határolópontként a számegyenesen.
pl. C = [1;∞[ = {x∈R|1<x}
A végtelen intervallumok mindig nyíltak.

Műveletek intervallumokkal:
A = [-2;6[
B = [3;9]
Ábrával győződjünk meg róla, hogy a két intervallumok egymáshoz képest milyen helyzetűek.
A és B jelen esetben részben átfedi egymást.
A ⋃ B = [-2;9]

• bal oldali végpont: -2 és 3 közül a kisebb. → -2.
• végpont jellege: a -2-höz tartozó határolás → [
• jobb oldali végpont: 6 és 9 közül a nagyobb. → 9.
• végpont jellege: a 9-hez tartozó határolás → ]

A ⋂ B = [3;6[

• bal oldali végpont: -2 és 3 közül a nagyobb. → 3.
• végpont jellege: a 3-hoz tartozó határolás → [
• jobb oldali végpont: 6 és 9 közül a kisebb. → 6.
• végpont jellege: a 9-hez tartozó határolás → [

A \ B = [-2;3[

• bal oldali végpont: A bal oldali végpontja. → -2.
• végpont jellege: A bal oldali végpontjának megfelelő → [
• jobb oldali végpont: B bal oldali végpontja. → 3.
• végpont jellege: B bal oldali végpontjának az ellentéte → [

B \ A = [6;9]

• bal oldali végpont: A jobb oldali végpontja. → 6.
• végpont jellege: A jobb oldali végpontjának az ellentéte → [
• jobb oldali végpont: B jobb oldali végpontja. → 9.
• végpont jellege: B jobb oldali végpontjának megfelelő → ]

8. Mi a logikai szita formula?

Legyen A és B két közös elemekkel is rendelkező halmaz.

• |A| = a (Legyen az A halmaz a elemű).
• |B| = b (Legyen a B halmaz b elemű).
• |A ⋃ B| = u (Tudjuk, hogy hány elem van a halmazokban összesen).

Kérdés:

• |A ⋂ B| = m (Keressük a közös elemek számát).

Megoldás:

1. (Logikai szitás):
 a + b - u = m.
2. (Különbséghalmazos):
 b - (u - a) = m.
 a - (u - b) = m.

Ha van alaphalmaz (ö) és külső elemek (k) is, akkor u = ö - k összefüggésre is szükségünk van.

Halmazok js

1. Létrehozás tömbből:
 const setA = new Set(['a', 'b', 'd']);
tömbbé alakítás:
 const arrA = [...setA];
 ... = beillesztés operátor
Létrehozás sztringből:
 const setB = new Set('abd')

2. új elem hozzáadása:
 setA.add('e');

3. elem törlése:
 setA.delete('b');
összes elemé:
 set.clear();

4. eleme-e lekérdezése:
 setA.has('a');

5. elemek száma:
 setA.size

6. elemek kiíratása:
  for (const x of setA) {console.log(x);}
  setA.forEach(x => console.log(x));
  setA.forEach(x => console.log(`${x}`));
 et items = setA.values();
 console.log(items.next().done);
 console.log(items.next().value);

7. Műveletek:
A. Unió:
 const sA = new Set([1,2,3]);
 const sB = new Set([4,3,2]);
 const sU = new Set([...sA, ...sB]);

B. Metszet:
 const sM = new Set([...sA].filter(x => sB.has(x)));

C. Különbség:
 const sK = new Set([...sA].filter(x => !sB.has(x)));

8. Bizonyos tulajdonságú részhalmaz:
 const sA = new Set([1, 2, 3, 4, 5]);
 const sR = new Set([...sA].filter(x => (x % 2) === 0));

9. Halmazok egyenlősége:
 const egyenlo_e = ([...sA].sort().join() === [...sB].sort().join())

10. Részhalmaz:
 const reszhalmaza_e = sB.every(val => sA.includes(val));

Összes részhalmaz:
var set = [1,2,3];
var n = set.length;

var allSubsets = [];

for (var i=0; i<(Math.pow(2,n)); i++) {
 var subset = [];
 for(var j=0; j<n; j++) {
  if( (i & (1<<j)) > 0 )
  subset.push(set[j]);
}
allSubsets.push(subset);
}

console.log(allSubsets);

Permutáció (rekurzióval): let findPermutations = (string) => { if (!string || typeof string !== "string"){ return "Please enter a string" } else if (string.length < 2 ){ return string } let permutationsArray = [] for (let i = 0; i < string.length; i++){ let char = string[i] let remainingChars = string.slice(0, i) + string.slice(i + 1, string.length) for (let permutation of findPermutations(remainingChars)){ permutationsArray.push(char + permutation) } } return permutationsArray }

Statisztika

Statisztika elmélet

MINTAFELADAT:
Géza jegyei: 3; 4; 1; 1; 4; 4.

Feladatok:
Határozzuk meg az adatok

• átlagát,
• móduszt,
• mediánt,
• terjedelmet,
• szórást!

Készítsünk gyakorisági táblázatot!
Ábrázoljuk az adatokat:

• oszlopdiagram
• kördiagram segítségével!

---

1. Adatok táblázatba foglalása:

Gyakoriság = az a darabszám, amely megmutatja, hogy az adott adat hányszor fordul elõ.
Relatív gyakoriság = az a részarány, amelyet úgy kapunk meg, hogy a gyakoriság értékét elosztjuk az adatok számával.

Jegy	1	2	3	4	5	Σ(Összesen)
darab	2	0	1	3	0	6
részarány	`color(black)(2/6)`	0	`color(black)(1/6)`	`color(black)(3/6)`	0	1

---

2. Középértékek:

Az adatok jellemzésére szolgáló mutatószámok.
Átlag = adatok összege osztva az adatok számával.
Módusz = a leggyakoribb elem.
(Több módusz is lehet, de ha minden adat azonos gyakoriságú, akkor nincs módusz.)
Medián = a sorbarendezett elemek közül a középsõ, vagy a középsõ kettõ átlaga.
(Az (n+1)/2-edik adat)

Mintafeladat adatai: 3; 4; 1; 1; 4; 4.

• Átlag = (3 + 4 + 1 + 1 + 4 + 4)/6 = 17/6 = 2,83 ≈ 3.
• Módusz = 4.
• Medián =
1. Sorbarendezés után: 1; 1; 3; 4; 4; 4.
2. Elsõ és utolsó elem elhagyása: 1; 1; 3; 4; 4; 4.
3. Maradék esetén az elsõ és utolsó elem elhagyása: 1; 1; 3; 4; 4; 4.
4. Átlagolás: (3 + 4)/2 = 3,5

---

3. Egyéb mutatószámok:

Terjedelem = legnagyobb elem - legkisebb elem.
Mintaadatok esetén: Terjedelem = 4 - 1 = 3.

Szórás = átlagtól való átlagos eltérés.
Kiszámításának lépései:

1. részadat = adat_gyakorisága·(adat - adatok_átlaga)²
2. részadatok_átlaga = részadatok_összege / adatok_szama
3. szórás = részadatok_átlagának_a_gyöke

`σ = sqrt((2*(1 - 2,83)^2 + (3 - 2,83)^2 + 3*(4 - 2,83)^2)/6)`
`σ = sqrt((6,7 + 0,03 + 4,1)/6)`
`σ = sqrt((10,83)/6)`
`σ = sqrt(1,805)`
`σ = 1,34`

---

4. Grafikonok:

Oszlopdiagram = A gyakoriságokat arányos magasságú téglalapokkal ábrázolja egy koordináta rendszerben.

Jegy	1	2	3	4	5	Σ
darab	2	0	1	3	0	6

Kördiagram = A gyakoriságokat arányos középponti szögû körcikkek segítségével ábrázolja egy körön belül.

Jegy	1	2	3	4	5	Σ
darab	2	0	1	3	0	6
részarány	2/6=0,33	0	1/6=0,17	3/6=0,5	0	6/6=1
középponti szög	0,33·360°=120°	0°	0,17·360°=60°	0,5·360°=180°	0°	1·360°=360°
göngyölítés	120°	120°+0°=120°	120°+60°=180°	180°+180°=360°	360°+0°=360°	-

STATISZTIKA BEADANDÓ FELADATOK

1. Géza jegyei:
2;2;1;5;3.

Határozza meg az átlagot, móduszt, mediánt, terjedelmet, szórást!
Készítsen gyakorisági táblázatot, oszlopdiagramot, kördiagramot!

2. Géza jegyei:
5;1;3;4;2;3;2;2.

Határozza meg az átlagot, móduszt, mediánt, terjedelmet, szórást!
Készítsen gyakorisági táblázatot, oszlopdiagramot, kördiagramot!

Halmazos számolásos feladatok

70, Legyen A a 15-nél kisebb pozitív egész számok halmaza, B a 12-nél nem nagyobb, 3-mal osztható pozitív egész számok halmaza. Határozd meg a két halmaz metszetét, unióját és az A\B halmazt!

71, Egy 30 fős osztályban 15-en fociznak, 6-an tekéznek. Mindkét sportot 3-en űzik. Hányan nem sportolnak az osztályból? A feladat megoldásához készíts Venn- diagrammot!

72, Adott A={1;2;3;4} és B={3;4;9;10} két halmaz.
               Határozd meg az adott halmazok unióját, metszetét különbségét!
               Ábrázold Venn- diagrammon is!

Halmazok igaz/hamis feladatok

1. A halmazok jelölésére kis betűket használunk.
___________
2. Halmazokat, ha az elemei felsorolásával adjuk meg,
akkor az elemeket kapcsos zárójelek közé kell tenni
és az elemeket pontosvesszővel kell elválasztani.
___________
3. A halmazok esetén minden elem többször is szerepelhet.
___________
4. A halmazelemek felsorolásánál a sorrend nem számít.
___________
5. Van olyan halmaz, amelynek egyetlen eleme sincs.
___________
6. Az alaphalmaz a lehető legbővebb halmaz.
___________
7. A halmazok jelölésére szolgáló Venn-diagram (halmazábra) alakja minden esetben
kör, vagy ellipszis.
___________
8. Ha az A halmaz tartalmazza a B halmaz minden elemét,
akkor azt mondjuk, hogy az A halmaz részhalmaza a B-nek.
___________
9. Ha az A részhalmaza B-nek és B is részhalmaza A-nak,
akkor a két halmaz egyenlő.
___________
10. A diszjunkt szó azt jelenti, hogy a két halmaznak nincs közös eleme.
___________
11. A metszet B-t AUB-vel jelöljük.
___________
12. A unió B-be beletartozik az A metszet B és a két különbség (A\B, B\A) is.
___________
13. A\B azonos a B\A-val.
___________
14. A számhalmazok betűjelei bővülő sorrendben: N, Z, Q, R.
___________
15. A számegyenes pontjai a racionális számoknak felelnek meg.
___________
16. A számegyenes szakaszai a végpontok nélkül zárt intervallumot alkotnak.
___________
17. Két nyitott intervallum uniója is nyitott intervallum.
___________
18. A számhalmazok számossága csak végtelen lehet.
___________
19. A számosságos feladatok halmazábráját általában
középről kezdjük (metszettől) kitölteni,
a halmozódásokat kivonással vesszük figyelembe.
___________
20. A halmazelméletre épül az egész matematika.
___________