1. Halmazok

1. Hogyan adunk meg halmazokat?

Halmazokat többféleképpen is megadhatunk.
Halmazok megadása legegyszerűbben az elemek felsorolásával történik.
(vagy a közös tulajdoság megfogalmazásával = pl. egyjegyű páros számok)
A = {1;2;3;4}
Látható, hogy:

• Halmazokat az ábécé nagy betűivel jelöljük.
• Elemeket kapcsos zárójelek közé zárjuk és pontosvesszővel választjuk el egymástól.
• Minden elem csak egyszer szerepelhet és a sorrend nem számít (de a sorbarendezett alak azért mégis csak esztétikusabb).
• Ha a halmaz elemeit fel tudjuk sorolni, akkor a halmaz véges. Elemeinek száma: |A| = 4.

Mit tudunk az A halmazról?
Többek között azt, hogy:

• Az 1 eleme A-nak.(1∈A, vagy A∋1)
• Az 5 nem eleme A-nak.(5∉A, vagy A∌5)

Halmazábra = karika = Venn-diagram.

2. Van-e olyan halmaz, aminek egyetlen eleme sincs?

Az olyan halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük.
Jele: ∅, vagy {}.

3. Milyen viszonyban lehet két halmaz?

Két halmaz egymáshoz képest, lehet:

• egyenlő pl. A = {0;1;2;3} B = {Bármely egész szám néggyel való osztási maradékai}
• rész-egész (tartalmazási) viszonylatú = karikában a karika
• közös elem nélküli (diszjunkt) = különálló két karika
• közös elemekkel rendelkező = egymást metsző két karika

4. Hány részhalmaza van egy n elemű halmaznak?

Tétel:
 Egy n elemű halmaznak 2ⁿ darab részhalmaza van.

Pl. Legyen A = {1;2;3} és B = {1;2;3;4;5;6}.
(Látható, hogy A kevesebb elemet tartalmaz, mint B és A minden egyes eleme B-ben is benne van.)
Ilyen esetben azt mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek (B tartalmazza A-t)
Jelölése: A⊂B (vagy B⊃A).

Tétel:
 Minden halmaznak az üres halmaz részhalmaza (triviális részhalmaz).

Soroljuk fel (szisztematikusan) A összes részhalmazát (faktorhalmazát)!

• 0 elemű részhalmaz: ∅
• 1 elemű részhalmaz: {1},{2},{3}
• 2 elemű részhalmaz: {1;2},{1;3},{2;3}
• 3 elemű részhalmaz: {1;2;3}

A lehető legbővebb halmazt alaphalmaznak nevezzük.
Az alaphalmaz halmazábrája nem karika, hanem az összes karikát tartalmazó, jó nagy téglalap.
Egy halmaz (alaphalmazra vonatkozó) kiegészítő (komplementer) halmaza olyan elemekből áll, amelyek nem tartoznak bele az adott halmazba. (Külső elemek).
Legyen az alaphalmaz a B halmaz, akkor A = {4;5;6}.
(Lyukas téglalap alakú halmazábra)

5. Két halmaz között hányféle művelet értelmezhető?

Két halmaz közötti műveletek közül három művelet alapvető jelentőségű.

• Unió = egyesítés = az összes elemet tartalmazza.(Babapiskóta alakú halmazábra)
• Metszet = közös rész = a közös elemeket tartalmazza.(Lencse alakú halmazábra)
• Különbség = fennmaradó rész = csak az egyik halmaz elemeit tartalmazza.(Félhold alakú halmazábra)

Pl.A = {1;2;3}
B = {3;4;5}
1. Metszet = A ⋂ B = {3} (középkezdés)
2. Különbség: (kivonás)
 A \ B = {1;2}
 B \ A = {3;4}
3. Unió = A ⋃ B = {1;2;3;4;5} (egyesítés)

6. Milyen számhalmazokat ismerünk?

Rendeljünk a különböző matematikai műveletekhez halmazokat!
Az összeadás(+)-szorzás(*) és a kivonás(-) játszótere:

• Egész számok halmaza = Z
• Pozitív egész számok halmaza = Z⁺
• Negatív egész számok halmaza = Z^-
• Természetes számok halmaza = N = pozitív egész számok és a nulla

Az osztás (/) játszótere:

• Racionális számok halmaza = Q = hagyományos törtek

A gyökvonás (√) játszótere:

• (Algebrai számok = a másodfokú egyenletek gyökös gyökei = pl. 3+2√5)
• (Komplex számok = a másodfokú egyenlet negatív gyökös gyökei = pl. √(-1)

A mértékegységrendszer alapszámával való osztás játszótere:

• Irracionális számok = köztes helyek = √2; √3; π
• Valós számok halmaza = R = a számegyenes pontjai = tizedes törtek

A számhalmazok közötti kapcsolat: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
(Egymásba rajzolt karikák)

7. Mik az intervallumok és milyen műveleteket tudunk végezni velük?

A intervallumok a számegyenes részei.
Lehetnek

• végesek és
• végtelenek a hosszaik.

Lehetnek

• nyíltak és
• zártak a végpontjaik.

pl. A = [1;4] = {x∈R|1≤x≤4}
Kiolvasása = az intervallumhoz olyan valós számok tartoznak, amelyekre teljesül, hogy 1-nél nem kisebbek és 4-nél nem nagyobbak.
zárt intervallum = befele (; irányába) néző szögletes zárójelek = tömör karika határolópontként a számegyenesen.
pl. B = ]1;4[ = {x∈R|1<x<4}
nyílt/nyitott intervallum = kifele néző szögletes zárójelek = üres karika határolópontként a számegyenesen.
pl. C = [1;∞[ = {x∈R|1<x}
A végtelen intervallumok mindig nyíltak.

Műveletek intervallumokkal:
A = [-2;6[
B = [3;9]
Ábrával győződjünk meg róla, hogy a két intervallumok egymáshoz képest milyen helyzetűek.
A és B jelen esetben részben átfedi egymást.
A ⋃ B = [-2;9]

• bal oldali végpont: -2 és 3 közül a kisebb. → -2.
• végpont jellege: a -2-höz tartozó határolás → [
• jobb oldali végpont: 6 és 9 közül a nagyobb. → 9.
• végpont jellege: a 9-hez tartozó határolás → ]

A ⋂ B = [3;6[

• bal oldali végpont: -2 és 3 közül a nagyobb. → 3.
• végpont jellege: a 3-hoz tartozó határolás → [
• jobb oldali végpont: 6 és 9 közül a kisebb. → 6.
• végpont jellege: a 9-hez tartozó határolás → [

A \ B = [-2;3[

• bal oldali végpont: A bal oldali végpontja. → -2.
• végpont jellege: A bal oldali végpontjának megfelelő → [
• jobb oldali végpont: B bal oldali végpontja. → 3.
• végpont jellege: B bal oldali végpontjának az ellentéte → [

B \ A = [6;9]

• bal oldali végpont: A jobb oldali végpontja. → 6.
• végpont jellege: A jobb oldali végpontjának az ellentéte → [
• jobb oldali végpont: B jobb oldali végpontja. → 9.
• végpont jellege: B jobb oldali végpontjának megfelelő → ]

8. Mi a logikai szita formula?

Legyen A és B két közös elemekkel is rendelkező halmaz.

• |A| = a (Legyen az A halmaz a elemű).
• |B| = b (Legyen a B halmaz b elemű).
• |A ⋃ B| = u (Tudjuk, hogy hány elem van a halmazokban összesen).

Kérdés:

• |A ⋂ B| = m (Keressük a közös elemek számát).

Megoldás:

1. (Logikai szitás):
 a + b - u = m.
2. (Különbséghalmazos):
 b - (u - a) = m.
 a - (u - b) = m.

Ha van alaphalmaz (ö) és külső elemek (k) is, akkor u = ö - k összefüggésre is szükségünk van.