Háromszögek területe

1. Derékszögű háromszög:

A derékszögű háromszög területe egyenlő a két befogó szorzata per kettő.

`T = (a*b)/2`

2. Szabályos háromszög:

A szabályos háromszög területe egyenlő az alap négyzetének a gyökhárom-per-négy (0,433) szeresével.

`T = (a^2*sqrt(3))/4 = a^2*0,433`

3. Egyenlő szárú háromszög:

Az egyenlőszárú háromszög területe egyenlő az alapnak és a hozzá tartozó magasságnak a szorzata per kettő.

`T = (a*m_a)/2`
ahol érvényes a Pitagorasz-tétel.
`(a/2)^2 + m^2 = b^2`

4. Általános háromszög:

A. A háromszög területe egyenlő bármely oldalnak és a hozzá tartozó magasságnak a szorzata per kettő.

`T = (a*m_a)/2`
`T = (b*m_b)/2`
`T = (c*m_c)/2`

Trigonometrikus területképlet:
A háromszög területe egyenlő bármely két oldal szorzata szorozva a közbezárt szög szinuszával per kettő.

`T = (a*b*si n gamma)/2`
`T = (a*c*si n beta)/2`
`T = (b*c*si n alpha)/2`

Ezt akár a szinusztétel bizonyításához is fel lehetne használni.

Heron képlet:
A háromszög kerülete és területe között összefüggés van.

`K = a + b + c`
`s = K/2`
`T = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))`

Mintafeladatok:

1. Derékszögű háromszög:

a = 6
c = 9
b = ?
T = ?
`b = sqrt(9^2 - 6^2) = sqrt(81-36) = sqrt(45)=6,7`
`T=(6*6,7)/2=20,1`

2. Szabályos háromszög:

a = 7
T = ?
`T = 7^2*0,433 = 49*4,33 = 212,17`

3. Egyenlő szárú háromszög:

a = 12
b = 20
m = ?
T = ?
`m = sqrt(20^2 -(12/2)^2) = sqrt(400 -36)= sqrt(364) = 19,08`
`T = (12*19,08)/2 = 114,48`

4. Általános háromszög:

a = 4
b = 7
γ = 40°
T = ?
c = ?
α = ?
β =?

`T=(4*7*sin40°)/2 = 14*0,6428 = 9`
`c = sqrt(4^2+7^2-2*4*7*cos40°)=sqrt(16+49-56*0,766)=sqrt(65-42,9)=sqrt(22,1)=4,7`
`9=(7*4,7*si n alpha)/2`
`si n alpha = 0,5471`
`alpha = 33,2°`
`9=(4*4,7*si n beta)/2`
`si n beta = 0,9574`
`beta = 73,2°`
`alpha + beta + gamma = 33,2°+ 73,2°+ 40°= 146,4° beta korrekciója= 180°-73,2°= 106,8°`alpha + beta + gamma = 33,2°+ 106,8°+ 40°= 180°`

5. Általános háromszög:

a = 3
b = 6
c = 7
T = ?
α = ?
β = ?
γ = ?

K = 3 + 6 + 7 = 16
s = 16/2 = 8
`T=sqrt(8*5*2*1) = sqrt(80)=8,9443`

`8,9443 = (3*6*si n gamma)/2`
`si n gamma = 0,9938`
`gamma = 83,6°`

`8,9443 = (3*7*si n beta)/2`
`si n beta = 0,8518`
`beta = 58,4°`

`8,9443 = (6*7*si n alpha)/2`
`si n alpha = 0,4259`
`alpha = 25,2°`

`alpha + beta + gamma = 83,6° + 58,4°+ 25,2° = 167,2°` korrekció:
`gamma = 180°- 83,6°= 96,4°`
`alpha + beta + gamma = 96,4° + 58,4°+ 25,2° = 180°`