Feladattípus táblázatok

I. Algebra

Év	I. Algebra
	Alap- műveletek	Algebrai kif.	Hatvány, gyök, logaritmus	Egyenletek Egyenlőt- lenségek Egyenlet rsz.	Másodfokú egyenletek	Trigo egyenletek
2024.			5/5- 5/8, 6/3
2023.	6/6, 10/2	10/8	6/7	6/8
2022.	5/3, 6/3- 6/4, 10/4		6/9, 10/3- 10/7
2021.	6/4		5/2- 15, 6/5, 10/8	5/10- 5/16, 6/1	5/13, 10/5	5/11, 6/11
2020.	5/9, 10/16-18	5/3, 10/4	10/4-6-15		5/6-13,10/10-15	6/11
2019.	6/8, 10/14		5/13-16, 6/3 10/3	5/13	5/1, 6/1
2018.		6/8	5/6 -13 6/7- 6/10	10/15	10/15	5/11
2017.		10/4	10/3-4-16		5/13,10/13	5/10,10/11
2016.	5/2		5/3-6,10/2-10-13	5/13	10/13	5/11,10/8
2015.	5/1,10/7		5/9,10/17		5/4-6,10/1-13
2014.		10/2	10/5-12	10/11		10/7
2013.	5/2-8		5/17,10/13	10/13-17		5/17
2012.	5/6-8	5/11	5/4-10-13,10/3	10/15
2011.	5/12,10/2	5/1-9-17,10/9-10-16	5/8		5/6,10/13	10/13
2010.			10/4-6-9	10/13	5/2	5/9
2009.	5/2,10/1		5/6,10/4-8-18	5/17,10/13	5/1,10/13
2008.	5/4-8,10/9	5/11	5/13,10/17	10/13		10/17
2007.	10/2-11	5/1	5/11,10/3-6-13	5/13,10/13
2006.	2/6	2/2,5/5	2/3,5/7-13-16,10/13-18	2/13,5/16	2/7-9	5/13
2005.		10/1-4-6	10/8,10/16	10/8
2003-4.

II. Gondolkodási műveletek

Év	II. Gondolkodási műveletek
	Halmazok	Logika	Számelmélet	Szöveges f.	Százalék	Kamatos kamat
2024.	5/1	6/8	6/1	6/7	5/9	6/9
2023.	5/3, 6/1	5/9	5/5, 10/1	10/5- 10/9	5/1, 6/3
2022.	5/1, 6/1, 10/1
2021.	5/3, 10/1	5/5	5/3, 10/9- 18	10/13-18	5/7 - 17, 10/4 - 17	6/8
2020.	5/2- 17, 6/2, 10/1	10/5	5/5, 10/3- 5	5/15-18,10/13	5/7, 10/7
2019.	5/4!, 10/2	10/16	5/8- 13, 6/5- 6/6 10/5	5/18,10/14-18	5/3, 10/4
2018.	5/2!- 18, 6/2!, 10/1!- 10/7!	10/5 - 10/8	5/3- 5/16, 6/3 10/13	5/8-13-16, 6/6 10/1-16	5/1, 6/9 10/18
2017.	5/1!-18,6/2!-11!, 10/2!-18	5/7	10/2- 10/5	10/4-18	5/17,10/16
2016.	5/1!-16,6/1!-2!-12!,10/16	5/9	5/7,10/3		5/15,10/9
2015.	5/18,6/1!,10/5!-6!	5/3	5/2,10/5-10	5/15-17,10/14	5/16,10/11
2014.	5/1!-5!,10/13	-	10/6-12	10/14	10/13
2013.	5/1!,10/1!	10/15	10/4	10/15	5/15,10/5
2012.	5/16,6/6!,10/2!	-	5/16,10/7	10/16	5/5,10/6
2011.	5/7!,6/12!,10/4!	-	5/4-7-11,10/1-17		5/14-16,10/11-14
2010.	5/16,10/1!	-	5/1,10/8	5/13	5/16-17
2009.	5/9!,6/1!-11!,10/2!		5/8,10/8	5/11-14-18	5/13-18
2008.	5/1!-12!,6/3!,10/3!	5/7	5/15,10/1	5/12-17,10/15
2007.	5/13,10/1!	-	10/5	5/4	10/16
2006.	2/12!,5/11!,10/1!-9!	10/11	2/15,5/3,10/6	10/15	2/11,5/8-17,10/14
2005.	10/13		10/2	10/18
2003-4.	3/9!,4/9!

III. Geometria

Év	III. Geometria
	Síkgeo	Trigo	Vektorok	Koord. geo	Térgeo	Gráfok
2024.	5/2, 6/2		6/6	6/10	5/7
2023.	6/10	10/3	5/6, 6/4	5/10, 6/11, 10/10	5/11	5/2
2022.	6/2- 6/8, 10/6- 10/10	5/5	5/9	5/8		5/2, 6/12, 10/9
2021.	5/4- 5/9- 14, 6/6 - 6/9, 10/3-18			5/18, 10/11- 16	5/16, 6/2 10/6- 14	5/16, 6/5 10/14
2020.	5/10-18, 6/12 10/14	5/10	10/17	5/16, 6/9 10/17	5/1- 14, 10/8- 18	5/4, 10/17
2019.	5/2 -14-15-18,10/8-14-15-16	5/9 10/8	5/7, 10/17	5/10, 6/11 10/9	5/15-17, 6/4 10/10-17	5/5- 18, 6/2, 10/1
2018.	5/14-18, 6/4 10/5-14-17-18			5/15,10/14	5/4- 17,10/16	5/5, 10/3 10/5
2017.	5/6-14-15,10/15			5/16,10/17	5/9-17, 10/1	5/3, 10/6- 10/8
2016.	5/14,10/15			5/17,10/5-17	5/18,10/6-15	5/5,10/1
2015.	5/5-13-17,10/2-15	10/3	5/11,10/16	5/10	5/16,10/18	5/8
2014.	10/13-15	10/8	-	10/1-9	10/14-15-17	10/18
2013.	5/3-8,10/7-12-14	5/5,10/3	-	5/6-14,10/17	5/9-18,10/16	5/16,10/9
2012.	5/14,10/4-7-11	5/12,10/9	10/10	5/2-7,10/13	5/18,10/17	5/18,10/8
2011.	5/12,10/16	5/5-9	-	5/15,10/15	5/3-16,10/12-18	10/7
2010.	5/6,10/17	5/10,10/7	-	5/14,10/3-12	5/18,10/14	5/7,10/11
2009.	5/15-16,10/16-17	5/4-15,10/5-12	5/17,10/10	5/10,10/16	5/12,10/11-17	5/3
2008.	5/7,10/2-7	10/5-8	5/6,10/11	5/14,10/4-14	5/16,10/16	10/10
2007.	5/3-8,10/5-15	10/3-9	10/10	5/16	5/15,10/18	5/14
2006.	5/1-15,10/11-17	-	2/10,10/10	2/17,5/10,10/2	2/14,5/6-14-18,10/7	2/8
2005.	10/10-14	10/3-16	10/7	10/5	10/17	10/9
2003-4.

IV. Hozzárendelések

Évek	IV. Hozzárendelések
	Függvények	Sorozatok	Statisztika	Kombinatorika	Valszám
2024.	5/10, 6/11	5/6	5/4, 6/4	5/3- 5/11, 6/5	5/12, 6/12
2023.	5/4, 6/12, 10/4- 10/11	5/7	6/5, 10/6	5/8, 6/2- 6/9	5/12, 10/7- 10/12
2022.	5/4- 5/10, 6/5- 6/7, 10/5- 10/8	5/7	5/11, 6/6- 6/10, 10/11	5/6, 6/11, 10/2	5/12, 10/12
2021.	5/8 - 5/11 - 15-17, 10/5- 13	5/1 -17, 6/7, 10/10-17	5/6, 6/12 10/7- 15	5/8-5/18, 6/3, 10/2	5/12 -16, 6/10 10/12- 15-18
2020.	5/6- 13, 10/6- 10/10- 15	5/9- 5/11- 17, 6/1 - 6/10, 10/2 -5-13	5/7- 14, 6/2- 6/8, 10/11- 18	5/16, 6/4 10/9	5/12 -15-18, 6/6- 6/7, 10/12- 16
2019.	5/14-16, 6/7- 6/9 10/6-13	5/11- 16, 6/10 10/7 -15-16	5/12- 16, 10/12	5/6- 16-17	5/17-18, 6/12, 10/11-16-18
2018.	5/7- 5/9-15, 6/5- 6/11 10/4- 10/9-15	5/12-15, 6/1, 10/11-16	5/8- 5/10, 10/610/6- 10/12-17	5/16-17, 10/10- 10/2-3,10/17	5/16-18, 6/12 10/2- 13-17-18
2017.	5/5-8-13, 10/9- 10/11	5/2-15,10/16-18	5/15-18, 10/10- 14	10/13	5/12-17-18, 10/7, 10/12-14
2016.	5/10-17,10/2-7-11	5/8-15,10/14	5/15-16,10/16-18	5/4-18,10/4	5/12-16-18,10/12-16-18
2015.	5/6-14,10/4-14-17	5/15,10/13	5/7,10/9-13	5/18,10/12-14-17	5/12-17-18,10/10-18
2014.	10/3-8-10	10/16	10/18	10/17-18	10/6-18
2013.	5/4-7,10/2-6-10	5/13,10/8-16	5/8-11,10/11-15	5/10,10/18	5/12-16-18,10/11-18
2012.	5/3-12,10/7-9-15	5/1-15,10/1-12-16	5/17,107-18	5/4,10/5-14	5/9,10/14-18
2011.	5/5,10/5-10-16	10/3,10/8	5/13,106	5/18,10/17	5/2-18,10/14-18
2010.	5/15,10/5-10	5/17,10/16	5/3-12-15,10/18	5/5,10/2-17	5/8-11-16-18,10/15
2009.	5/17,10/7-18	5/7,10/6-14	5/13,10/9	5/5,10/18	5/14-18,103-15
2008.	5/5-9,10/14	5/10	10/6-12	5/2-15-18,10/18	5/3-18,10/16-18
2007.	5/7-9,10/12	5/2-18,10/7-17	5/10-17,10/6-12	5/14,10/8-14-16-17	5/12-17-18,10/4-14-16-17
2006.	2/13,5/12-16,10/13-18	2/1-15,5/2,10/16	5/16,5/4,10/4-14	2/4-18,5/9-15,10/3-12	2/5-16-18,5/15-17,10/8-14
2005.	10/12	-	10/15	10/11	10/13
2003-4.

Feladattípusok

20024.06.
	1. számelmélet
		2. sokszögek
3. hatványozás
			4. statisztika
			5. kombinatorika
		6. vektorok
	7. szöveges feladat
	8. logika
	9. százalék
			10. függvény
11. hatvány
			12. valszám



2024.05.
	1.halmazok
		2.háromszögek
			3.kombinatorika
			4.statisztika
5.hatvány
			6.sorozatok
		7.térgeo
8.logaritmus
	9.százalék
			10.függvények
			11.statisztika
			12.valszám

---

2023.10.
	1.számelmélet
2.arányosság
		3.háromszögek
			4.függvények
	5.szöveges
			6.statisztika
			7.valszám
8.alg.kif.
	9.szöveges
		10.koordináta-geo
			11.fv
			12.valszám



2023.06.
	1.halmazok
			2.kombinatorika
	3.százalék
		4.vektor
			5.statisztika
6.számrendszerek
7.logaritmus
8.egyenlőtlenségek
			9.kombinatorika
		10.háromszögek
		11.koordinátageo
			12.fv



2023.05.
	1.százalék
		2.gráf
	3.halmaz
			4.fv
	5.számelm
		6.vektor
			7.sorozat
			8.komb
	9.logika
		10.koord geo
		11.térgeo
			12.valszám

---

2022.10.
	1.halm
			2.komb
3.hatv
4.arány
			5.fv
		6.sokszög
7.hatv
			8.fv
		9.gráf
		10.háromsz
			11.stat
			12.valsz

2022.06.
	1.halm !!!
		2.négyszögek
3.a kif
4.arány
			5.fv
			6.stat
			7.fv
		8.soksz
9.hatv
			10.stat
			11.komb
		12.gráf

2022.05.
	1.halm !!!
		2.gráf
3.alg kif
			4.fv
		5.trigo
			6.komb
			7.sorozat
		8.koordinátageo
		9.vektor
			10.fv
			11.stat
			12.valszám

---

2021.10.
	1.halm
			2.komb
		3.sikgeo
	4.száz
			5.fv
		6.térgeo
			7.stat
8.hatv
	9.számelm
			10.sor
		11.koord
			12.valsz

2021.06.
1.alg kif
		2.térgeo
			3.komb
4.alg műv
5.hatv
		6.sikgeo
			7.sor
	8.kamk
		9.sikgeo
			10.valsz
		11.trigo
			12.stat

2021.05.
			1.sor
2.hatv
	3.halm
		4.sikgeo
	5.logika
			6.stat
	7.kamat
		8.koordg
		9.sikg
10.egyenl
			11.fv
			12.valsz

---

2020.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2020.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2020.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2019.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2019.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2019.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2018.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2018.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2018.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2017.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2017.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2017.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2016.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2016.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2016.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2015.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2015.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2015.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2014.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2014.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2014.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2013.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2013.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2013.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2012.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2012.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2012.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2011.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2011.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2011.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2010.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2010.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2010.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2009.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2009.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2009.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2008.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2008.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2008.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2007.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2007.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2007.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2006.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2006.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2006.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

2005.10.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2005.06.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

2005.05.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.

---

Halmazok megvalósítása

Probléma:

Halmaz megadható-e tömbbel?
Elmélet:
Mind a tömb, mind a halmza elemekből áll.

A tömbben minden elem többször szerepelhet és a sorrend számít.
Halmaz esetén minden elem csak egyszer szerepelhet és a sorrend nem számít.

A sorrendbeliség nem lényegi szempont, viszont az elemek előfordulásának száma fontos dolog.
Megoldás:

    let A = [1,2,3]; 

Megjegyzés:
Ha minden elem, csak egyszer szerepel egy tömbben, akkor az halmaznak tekinthető.

Jelölés:
A halmazokat az abc nagy betűibel szokás jelölni, a tömbök nevei viszont kis betűvel kezdődnek.

---

Probléma:

Hogyan lehet sorbarendezni az elemeket?
Elmélet:
1. Ha csak egyjegyű számok szerepelnek: sort() használható.
2. Ha egy és többjegyű számok is szerepelnek: a-b visszatérési értékű függvényparaméter használata.
3. Ha ékezetes betűk is szerepelnek: a.localeCompare(b) visszatérési értékű függvényparaméter használata.

    let A = [3,2,1,4].sort();
    let B = [3,2,1,4].sort(function (a, b){return a-b});
    let B = [3,2,1,4].sort(function (a, b){return a.localeCompare(b)});

---

Probléma:

Eleme-e egy adott dolog egy halmaznak?
Megoldás:

    tomb.includes(elem);

Megjegyzés:
Eredmény true vagy false logikai érték lesz.

---

Probléma:

Két halmaz egyenlő-e?
Elmélet:
Két halmaz egyenlő, ha a két halmaz ugyanannyi elemből áll és az egyik halmaz elemei mind megtalálhatók a másik halmazban.
Megoldás:

let A = [1,2,3];
let B = [1,2];
let C = [3,2,1];

function egyenloE(a,b){
    let res = true;
    if(a.length == b.length){
        for(let e of a){
            if(!b.includes(e)){res = false; break;}
        }
    } else{
        res = false;
    }
    return res;
}

Megjegyzések:
- Az eredmény itt is true vagy false logikai érték lesz.
- Ha sorbarendezett a tömb:

function egyenloE(a,b){
    let res = true;
    if(a.length == b.length){
        for(let i in a){
            if(a[i] != b[i]){res = false; break;}
        }
    } else {
        res = false;
    }
    return res;
}

---

Probléma:

Az egyik halmaz tartalmazza-e a másikat?
Megoldás:

function tartalmazzaE(a,b){
    let res = true;
    for(let e of b){
        if(!a.includes(e)){res = false; break;}
    }
    return res;
}

Megjegyzések:
- A paraméterek sorrendje fontos, nem mindegy ugyanis, hogy A tartalmazza B-t, vagy B tratalmazza A-t.
- Ha A tartalmazza B-t és B is tartalamazza A-t, akkor a két halmaz egyenlő.

function egyenloE(a,b){
    return tartalmazzaE(a,b) && tartalmazzaE(b,a);
}

---

Probléma:

Melyek egy halmaz komplementere (külső elemei) egy másik (bővebb) halmazra vonatkozóan?
Elmélet:
A komplementerének az elemei olyan B halmazbeli elemek, amelyek nem elemei A halmaznak.
Megoldás:

function komplementere(a,b){
    let res = [];
    for(let e of b){
        if(!a.includes(e)){res.push(e);}
    }
    return res;
}

---

Probléma:

Milyen közös elemei vannak két halmaznak (vagyis mi lesz két halmaz metszete)?
Elmélet:
A és B metszete olyan A halmazbeli elemekből áll, amelyek B halmaznak is elemei.
Megoldás:

function metszete(a,b){
    let res = [];
    for(let e of a){
        if(b.includes(e)){res.push(e);}
    }
    return res;
}

Megjegyzés:
Ha két halmaz metszete üres, akkor diszjunkt halmazokról beszélünk.

---

Probléma:

Mi lesz két halmaz különbsége?
Elmélet:
Az A \ B halmaznak az elemei az A halmaznak azon elemei, amelyek B halmaznak nem elemei.
Megoldás:

function kulonbsege(a,b){
    let res = [];
    for(let e of a){
        if(!b.includes(e)){res.push(e);}
    }
    return res;
}

Megjegyzés:
A különbségénél számít a sorrend.

---

Probléma:

Mi lesz két halmaz uniója?
Elmélet:
Két halmaz uniója A halmaz összes eleméhez hozzávesszük B azon elemeit, amelyeket A nem tartalmaz!
Megoldás:

function unioja(a,b){
    let res = a.slice();
    for(let e of b){
        if(!a.includes(e)){res.push(e);}
    }
    return res;
}

---

Probléma:

Hogyan lehet halmazzá alakítani egy ismétlődéseket tartalmazó tömböt?
Elmélet: Az adott tömbből többféleképpen szűrhetjük ki az ismétlődéseket:
1. A tömb elemeit páronként összehasonlítjuk, és ami már szerepelt azt kidobjuk.
2. Az üres tömböt bővítjük a tömb olyan elemeivel, amik még nem szerepeltek.

1. megoldás:

function halmaz(t){
    let len = t.length;
    for(let i = 0; i < len; i++) {
        for(let j = i + 1; j < len; j++) {
            if(t[j] == t[i]){t.splice(j,1);j--;len--;}
        }
    }    
    return t;
}

2. megoldás:

function halmaz(t){
    let h = [];
    let ind = 0;
    while(ind < t.length){
        if (!h.includes(t[ind])){h.push(t[ind]);}
        ind++;
    };
    return h;
}

Megjegyzés:
1. A második megoldást felhasználhatjuk az unióképzéshez.

function unioja(a,b){
    let ab = a.concat(b);
    res = halmaz(ab);
    return res;
}

2. A második megoldást felhasználhatjuk a szavakból képzett betűhalmazok képzéséhez.

function wordCharSet(a){
    return halmaz(a.split(''));
}

---

Probléma:

Hogyan lehet véletlen számokból álló halmazt létrehozni?
Elmélet:
Szükség van egy véletlenszám generáló függvényre.
Induljunk ki egy üres halmazból és egészítsük ki olyan elemekkel, amelyek még nem szerepeltek.
Csináljuk mindezt addig, amíg nem az elemszám egyenlő nem lesz az adott értékkel.
Ha túl szűk tartományt adunk meg akkor baj van, amit kezelnünk kell.

function rndNumSet(min, max, len){
    let res = [];
    if(max-min+1 >= len){
        let ind = 0;
        let ai;
        while(ind < len){
            ai = rnd(min,max);
            if(!res.includes(ai)){
                res.push(ai); ind++;
            }
        }
    }
    return res;
}
function rnd(min,max){
    return (Math.floor(Math.random()*(max-min+1)) + min);
}

Megjegyzés:
Ez felhasználható véletlen, betűkből álló halmazok képzésére.

function rndCharSet(len){
    let res = [];
    let abc_t = ["a","b","c","d","e","f","g","h","e","f",
        "g","h","i","j","k","l","m","n","o","p","q","r",
        "s","t","u","v","w","x","y","z"];
    let abc_t_len = abc_t.length;
    let ind_t = rndNumSet(0,abc_t_len-1,len);
    for(let e of ind_t){
        res.push(abc_t[e]);
    }
    return res;
}

---

2024. május 1. rész

Matematika érettségi 2024. május

1. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A ⋃ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, A ⋂ B = {1; 2} és A \ B = {3; 4}.
Adja meg az A és B halmazokat elemeik felsorolásával!
A = {}
B = {}

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

2. Egy derékszögű háromszög egyik befogója 24 cm, átfogója 25 cm hosszú.
Hány cm hosszú a másik befogó?
Pitagorasz-tétel: x² + ² = ²
A másik befogó hossza cm.

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

3. Hány darab négyjegyű, különböző számjegyekből álló (pozitív) páratlan szám alkotható az 1;2;3;4 számjegyekből?
A lehetőségek száma = ·· · =

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

4. Egy kozmetikai cég alkalmazottja az alábbi diagramot készítette a 2022-ben és 2023- ban általa értékesített termékek mennyiségéről:

A diagram alapján állapítsa meg, igaz-e az az állítás, hogy az alkalmazott 2023-ban 3-szer/-szor annyi terméket értékesített, mint 2022-ben! Válaszát indokolja!
Az állítás igazságtartalma: igaz hamis , mert a két érték aránya =

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

5. Adja meg a értékét, ha tudjuk, hogy a^1/2 = 4.
a =

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

6. Egy számtani sorozat nyolcadik tagja 6-val/-vel nagyobb, mint a negyedik tagja.
A sorozat hatodik tagja 6.
Számítsa ki a sorozat első 6 tagjának az összegét! Megoldását részletezze!
= a8 - a4 = ·d
d =
A sorozat első hat tagja: ; ;; ;;
S6 = ++ ++ +
S6 =

Max p.	Kapott p.
4 pont

---

7. Hány csúcsa, hány lapja és hány éle van egy 6-szög alapú gúlának?
A csúcsok száma:
A lapok száma:
Az élek száma:

Max p.	Kapott p.
3 pont

---

8. Egy szám 2-es alapú logaritmusa 6.
Mennyi a szám 2-szeresének/-szorosának a 2-es alapú logaritmusa?
Az eredeti szám = ^ =
A 2-szeresének/-szorosának a logaritmusa: log ₂ =

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

9. Egy városban a polgármester-választáson a győztes jelöltre a szavazáson résztvevők 55%-a szavazott, így 10593 szavazatot kapott.
Hányan vettek részt ebben a városban a szavazáson?
x· =
A résztvevők száma =

Max p.	Kapott p.
2 pont

---

10. Adott az alábbi (a valós számok halmazán értelmezett) öt függvény.
Adja meg közülük azoknak a betűjelét, amelyeknek van zérushelye!
f: x ↦ x² függvénynek van zérushelye? igaz hamis
g: x ↦ 2^x függvénynek van zérushelye? igaz hamis
h: x ↦ 2x + 3 függvénynek van zérushelye? igaz hamis
i: x ↦ |x| függvénynek van zérushelye? igaz hamis
j: x ↦ 5 függvénynek van zérushelye? igaz hamis

Max p.	Kapott p.
3 pont

---

11. Balázs magyar irodalomból a következő jegyeket szerezte az első félévben: 1,5,5,5.
Számítsa ki Balázs jegyeinek átlagát és szórását!
A jegyek átlaga:
A jegyek szórása:

Max p.	Kapott p.
3 pont

---

12. 3 különböző színű szabályos dobókockával egyszerre dobunk.
Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a dobás eredménye 3 különböző szám lesz! Megoldását részletezze!
k =
n =
p = %

Max p.	Kapott p.
3 pont

---

2024. május 1. feladatsor

NÉV:
EREDMÉNY:

Ssz:	Max p.	Kap p.	Par.	Bemenet
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Össz

Háromszögek területe

1. Derékszögű háromszög:

A derékszögű háromszög területe egyenlő a két befogó szorzata per kettő.

`T = (a*b)/2`

2. Szabályos háromszög:

A szabályos háromszög területe egyenlő az alap négyzetének a gyökhárom-per-négy (0,433) szeresével.

`T = (a^2*sqrt(3))/4 = a^2*0,433`

3. Egyenlő szárú háromszög:

Az egyenlőszárú háromszög területe egyenlő az alapnak és a hozzá tartozó magasságnak a szorzata per kettő.

`T = (a*m_a)/2`
ahol érvényes a Pitagorasz-tétel.
`(a/2)^2 + m^2 = b^2`

4. Általános háromszög:

A. A háromszög területe egyenlő bármely oldalnak és a hozzá tartozó magasságnak a szorzata per kettő.

`T = (a*m_a)/2`
`T = (b*m_b)/2`
`T = (c*m_c)/2`

Trigonometrikus területképlet:
A háromszög területe egyenlő bármely két oldal szorzata szorozva a közbezárt szög szinuszával per kettő.

`T = (a*b*si n gamma)/2`
`T = (a*c*si n beta)/2`
`T = (b*c*si n alpha)/2`

Ezt akár a szinusztétel bizonyításához is fel lehetne használni.

Heron képlet:
A háromszög kerülete és területe között összefüggés van.

`K = a + b + c`
`s = K/2`
`T = sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))`

Mintafeladatok:

1. Derékszögű háromszög:

a = 6
c = 9
b = ?
T = ?
`b = sqrt(9^2 - 6^2) = sqrt(81-36) = sqrt(45)=6,7`
`T=(6*6,7)/2=20,1`

2. Szabályos háromszög:

a = 7
T = ?
`T = 7^2*0,433 = 49*4,33 = 212,17`

3. Egyenlő szárú háromszög:

a = 12
b = 20
m = ?
T = ?
`m = sqrt(20^2 -(12/2)^2) = sqrt(400 -36)= sqrt(364) = 19,08`
`T = (12*19,08)/2 = 114,48`

4. Általános háromszög:

a = 4
b = 7
γ = 40°
T = ?
c = ?
α = ?
β =?

`T=(4*7*sin40°)/2 = 14*0,6428 = 9`
`c = sqrt(4^2+7^2-2*4*7*cos40°)=sqrt(16+49-56*0,766)=sqrt(65-42,9)=sqrt(22,1)=4,7`
`9=(7*4,7*si n alpha)/2`
`si n alpha = 0,5471`
`alpha = 33,2°`
`9=(4*4,7*si n beta)/2`
`si n beta = 0,9574`
`beta = 73,2°`
`alpha + beta + gamma = 33,2°+ 73,2°+ 40°= 146,4°
beta korrekciója= 180°-73,2°= 106,8°
`alpha + beta + gamma = 33,2°+ 106,8°+ 40°= 180°`

5. Általános háromszög:

a = 3
b = 6
c = 7
T = ?
α = ?
β = ?
γ = ?

K = 3 + 6 + 7 = 16
s = 16/2 = 8
`T=sqrt(8*5*2*1) = sqrt(80)=8,9443`

`8,9443 = (3*6*si n gamma)/2`
`si n gamma = 0,9938`
`gamma = 83,6°`

`8,9443 = (3*7*si n beta)/2`
`si n beta = 0,8518`
`beta = 58,4°`

`8,9443 = (6*7*si n alpha)/2`
`si n alpha = 0,4259`
`alpha = 25,2°`

`alpha + beta + gamma = 83,6° + 58,4°+ 25,2° = 167,2°` korrekció:
`gamma = 180°- 83,6°= 96,4°`
`alpha + beta + gamma = 96,4° + 58,4°+ 25,2° = 180°`

1. Halmazok

1. Hogyan adunk meg halmazokat?

Halmazokat többféleképpen is megadhatunk.
Halmazok megadása legegyszerűbben az elemek felsorolásával történik.
(vagy a közös tulajdoság megfogalmazásával = pl. egyjegyű páros számok)
A = {1;2;3;4}
Látható, hogy:

• Halmazokat az ábécé nagy betűivel jelöljük.
• Elemeket kapcsos zárójelek közé zárjuk és pontosvesszővel választjuk el egymástól.
• Minden elem csak egyszer szerepelhet és a sorrend nem számít (de a sorbarendezett alak azért mégis csak esztétikusabb).
• Ha a halmaz elemeit fel tudjuk sorolni, akkor a halmaz véges. Elemeinek száma: |A| = 4.

Mit tudunk az A halmazról?
Többek között azt, hogy:

• Az 1 eleme A-nak.(1∈A, vagy A∋1)
• Az 5 nem eleme A-nak.(5∉A, vagy A∌5)

Halmazábra = karika = Venn-diagram.

2. Van-e olyan halmaz, aminek egyetlen eleme sincs?

Az olyan halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs üres halmaznak nevezzük.
Jele: ∅, vagy {}.

3. Milyen viszonyban lehet két halmaz?

Két halmaz egymáshoz képest, lehet:

• egyenlő pl. A = {0;1;2;3} B = {Bármely egész szám néggyel való osztási maradékai}
• rész-egész (tartalmazási) viszonylatú = karikában a karika
• közös elem nélküli (diszjunkt) = különálló két karika
• közös elemekkel rendelkező = egymást metsző két karika

4. Hány részhalmaza van egy n elemű halmaznak?

Tétel:
 Egy n elemű halmaznak 2ⁿ darab részhalmaza van.

Pl. Legyen A = {1;2;3} és B = {1;2;3;4;5;6}.
(Látható, hogy A kevesebb elemet tartalmaz, mint B és A minden egyes eleme B-ben is benne van.)
Ilyen esetben azt mondjuk, hogy A részhalmaza B-nek (B tartalmazza A-t)
Jelölése: A⊂B (vagy B⊃A).

Tétel:
 Minden halmaznak az üres halmaz részhalmaza (triviális részhalmaz).

Soroljuk fel (szisztematikusan) A összes részhalmazát (faktorhalmazát)!

• 0 elemű részhalmaz: ∅
• 1 elemű részhalmaz: {1},{2},{3}
• 2 elemű részhalmaz: {1;2},{1;3},{2;3}
• 3 elemű részhalmaz: {1;2;3}

A lehető legbővebb halmazt alaphalmaznak nevezzük.
Az alaphalmaz halmazábrája nem karika, hanem az összes karikát tartalmazó, jó nagy téglalap.
Egy halmaz (alaphalmazra vonatkozó) kiegészítő (komplementer) halmaza olyan elemekből áll, amelyek nem tartoznak bele az adott halmazba. (Külső elemek).
Legyen az alaphalmaz a B halmaz, akkor A = {4;5;6}.
(Lyukas téglalap alakú halmazábra)

5. Két halmaz között hányféle művelet értelmezhető?

Két halmaz közötti műveletek közül három művelet alapvető jelentőségű.

• Unió = egyesítés = az összes elemet tartalmazza.(Babapiskóta alakú halmazábra)
• Metszet = közös rész = a közös elemeket tartalmazza.(Lencse alakú halmazábra)
• Különbség = fennmaradó rész = csak az egyik halmaz elemeit tartalmazza.(Félhold alakú halmazábra)

Pl.A = {1;2;3}
B = {3;4;5}
1. Metszet = A ⋂ B = {3} (középkezdés)
2. Különbség: (kivonás)
 A \ B = {1;2}
 B \ A = {3;4}
3. Unió = A ⋃ B = {1;2;3;4;5} (egyesítés)

6. Milyen számhalmazokat ismerünk?

Rendeljünk a különböző matematikai műveletekhez halmazokat!
Az összeadás(+)-szorzás(*) és a kivonás(-) játszótere:

• Egész számok halmaza = Z
• Pozitív egész számok halmaza = Z⁺
• Negatív egész számok halmaza = Z^-
• Természetes számok halmaza = N = pozitív egész számok és a nulla

Az osztás (/) játszótere:

• Racionális számok halmaza = Q = hagyományos törtek

A gyökvonás (√) játszótere:

• (Algebrai számok = a másodfokú egyenletek gyökös gyökei = pl. 3+2√5)
• (Komplex számok = a másodfokú egyenlet negatív gyökös gyökei = pl. √(-1)

A mértékegységrendszer alapszámával való osztás játszótere:

• Irracionális számok = köztes helyek = √2; √3; π
• Valós számok halmaza = R = a számegyenes pontjai = tizedes törtek

A számhalmazok közötti kapcsolat: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
(Egymásba rajzolt karikák)

7. Mik az intervallumok és milyen műveleteket tudunk végezni velük?

A intervallumok a számegyenes részei.
Lehetnek

• végesek és
• végtelenek a hosszaik.

Lehetnek

• nyíltak és
• zártak a végpontjaik.

pl. A = [1;4] = {x∈R|1≤x≤4}
Kiolvasása = az intervallumhoz olyan valós számok tartoznak, amelyekre teljesül, hogy 1-nél nem kisebbek és 4-nél nem nagyobbak.
zárt intervallum = befele (; irányába) néző szögletes zárójelek = tömör karika határolópontként a számegyenesen.
pl. B = ]1;4[ = {x∈R|1<x<4}
nyílt/nyitott intervallum = kifele néző szögletes zárójelek = üres karika határolópontként a számegyenesen.
pl. C = [1;∞[ = {x∈R|1<x}
A végtelen intervallumok mindig nyíltak.

Műveletek intervallumokkal:
A = [-2;6[
B = [3;9]
Ábrával győződjünk meg róla, hogy a két intervallumok egymáshoz képest milyen helyzetűek.
A és B jelen esetben részben átfedi egymást.
A ⋃ B = [-2;9]

• bal oldali végpont: -2 és 3 közül a kisebb. → -2.
• végpont jellege: a -2-höz tartozó határolás → [
• jobb oldali végpont: 6 és 9 közül a nagyobb. → 9.
• végpont jellege: a 9-hez tartozó határolás → ]

A ⋂ B = [3;6[

• bal oldali végpont: -2 és 3 közül a nagyobb. → 3.
• végpont jellege: a 3-hoz tartozó határolás → [
• jobb oldali végpont: 6 és 9 közül a kisebb. → 6.
• végpont jellege: a 9-hez tartozó határolás → [

A \ B = [-2;3[

• bal oldali végpont: A bal oldali végpontja. → -2.
• végpont jellege: A bal oldali végpontjának megfelelő → [
• jobb oldali végpont: B bal oldali végpontja. → 3.
• végpont jellege: B bal oldali végpontjának az ellentéte → [

B \ A = [6;9]

• bal oldali végpont: A jobb oldali végpontja. → 6.
• végpont jellege: A jobb oldali végpontjának az ellentéte → [
• jobb oldali végpont: B jobb oldali végpontja. → 9.
• végpont jellege: B jobb oldali végpontjának megfelelő → ]

8. Mi a logikai szita formula?

Legyen A és B két közös elemekkel is rendelkező halmaz.

• |A| = a (Legyen az A halmaz a elemű).
• |B| = b (Legyen a B halmaz b elemű).
• |A ⋃ B| = u (Tudjuk, hogy hány elem van a halmazokban összesen).

Kérdés:

• |A ⋂ B| = m (Keressük a közös elemek számát).

Megoldás:

1. (Logikai szitás):
 a + b - u = m.
2. (Különbséghalmazos):
 b - (u - a) = m.
 a - (u - b) = m.

Ha van alaphalmaz (ö) és külső elemek (k) is, akkor u = ö - k összefüggésre is szükségünk van.